5.2 Lugar geométrico de las raíces

Análisis del lugar de las raíces. La idea básica detrás del método del lugar geométrico de las raíces es que los valores de s que hacen que la función de transferencia alrededor del lazo sea igual a -1 deben satisfacer la ecuación característica del sistema.   El método debe su nombre al lugar geométrico de las raíces de la ecuación característica del sistema en lazo cerrado conforme la ganancia varía de cero a infinito. Dicha gráfica muestra claramente como contribuye cada polo o cero en lazo abierto a las posiciones de los polos en lazo cerrado.  Al diseñar un sistema de control lineal, encontramos que el método del lugar geométrico de las raíces resulta muy útil, dado que indica la forma en la que deben modificarse los polos y ceros en lazo abierto para que respuesta cumpla las especificaciones del desempeño del sistema.  Algunos sistemas de control pueden tener más de un parámetro que deba ajustarse. El diagrama del lugar geométrico de las raíces, para un sistema que tiene parámetros múltiples, se construye variando un parámetro a la vez.

Reglas generales para construir los lugares geométricos de las raíces. Resumiremos las reglas y el procedimiento general para construir los lugares geométricos de las raíces del sistema de la figura 5.2.1.1 

figura 5.2.1.1

La característica básica de la respuesta transitoria de un sistema de lazo cerrado se relaciona estrechamente con la localización de los polos. Los polos en lazo cerrado son las raíces de la ecuación característica, si esta tiene un grado superior a 3 es muy laborioso encontrar sus raíces y se requiera una solución por computadora, si el sistema tiene una ganancia de lazo variable la localización de los polos en lazo cerrado depende del valor de la ganancia elegida. 

Para K = 0, ¼, 1

                    Para k=0

TRAZADO DEL LUGAR GEOMÉTRICO DE LAS RAÍCES

La ecuación característica del sistema proporciona información valiosa con respecto a la respuesta del sistema cuando se determina las raíces de la ecuación; para trazar el LGR del sistema primero se debe determinar la función características del sistema.

 1+kG(s) = 0

Luego se ubica en el plano complejo los polos y ceros de la ecuación 3.4. recuerde que los polos se representan por una x y los ceros con una o.

Para dibujar el LGR, sé varia k entre cero e infinito. De la ecuación 3.4 se puede deducir que:

 Sí k=0 entonces las raíces de la ecuación característica son los polos de G(s).

 Sí K⇒ ∞ entonces las raíces de la ecuación característica son los ceros de G(s).

 Por lo tanto, el LGR inicia en los polos de G(s) y termina en los ceros de G(s) a medida que aumenta k de cero a infinito.

Otra característica importante a tener en cuenta del LGR es que este gráfico es simétrico con respecto al eje real, ya que las raíces complejas de un polinomio deben aparecer en parejas (raíces complejas conjugadas).

 El número de segmentos que componen el LGR de un sistema es igual al número de polos en lazo abierto del proceso, ya que en sistemas dinámicos el número de polos es mayor que el número de ceros. 

  N = np - nz             (3.5)

Donde N es el número de segmentos del LGR que terminan en polos en el infinito, nz el número de ceros del sistema y np el número de polos. N también determina el número de asíntotas del LGR.

Construcción del Lugar Geométrico de las Raíces

Para la construcción metódica del lugar geométrico se puede seguir un procedimiento que hace posible realizar una rápida representación de la ubicación de cada una de las raíces de la ecuación característica cuando se varía K desde cero a infinito.

A continuación, se muestra el procedimiento a seguir para la construcción del lugar geométrico paso a paso.

Paso 1

Debido a que el lugar geométrico de las raíces comienza en los polos de lazo abierto       y termina en los ceros de lazo abierto se deben dibujar sobre el Plano s dichos polos y ceros, para lo cual se utiliza la convención de marcar los polos con una X y los ceros con un O.

 Paso 2 

Utilizando la condición de ángulo se determina que parte del eje real pertenece al lugar geométrico, para lo cual se debe verificar en cada tramo del eje real el cumplimiento o no de la condición. Si se parte de un caso hipotético en el cual se tienen dos polos (p y p2) y un cero (z) sobre el eje real.

Paso 2 

Utilizando la condición de ángulo se determina que parte del eje real pertenece al lugar geométrico, para lo cual se debe verificar en cada tramo del eje real el cumplimiento o no de la condición. Si se parte de un caso hipotético en el cual se tienen dos polos (p y p2) y un cero (z) sobre el eje real.

Paso 3

Considerando que la función de transferencia a lazo abierto tiene n polos y m ceros, y que para los sistemas en estudio n > m, se tiene un cierto número de ramas que comienzan en los polos, pero, debido a que existen más polos que ceros, dichas ramas se dirigen a ceros en el infinito a lo largo de asíntotas.

Paso 4

El punto o los puntos del eje real en el cual las raíces se despegan del eje y se convierten en raíces imaginarias se conocen como puntos de ruptura y ocurren cuando hay multiplicidad de raíces en un tramo, es decir, si dos o más raíces se van acercando a medida que aumenta K, llega un punto en donde se encuentran y son iguales. Es allí en donde, al seguir aumentando K, dichas raíces se convierten en raíces imaginarias y se despegan del eje real.

Tomando en consideración lo anterior se determina que el punto ruptura ocurre cuando se llega a un valor máximo de K después del cual las raíces dejan de ser reales. Para obtener analíticamente dicho punto se debe reescribir la ecuación característica despejando el valor de K, tal como lo expresa la ecuación.  A partir de allí es posible obtener el máximo de K derivando dicha ecuación y encontrando el valor de las raíces, sR, para las cuales la Ec sea igual a cero.