Como vimos al inicio de la unidad 5 el cálculo de las raíces de una función de transferencia; conocidos como polos y cero, estas 2 propiedades de una función de transferencia determinan si el sistema es estable o transitorio.
Los polos de lazo cerrado son las raíces de la ecuación característica. Para encontrarlos se debe descomponer en factores la ecuación característica lo que resulta muy laborioso. El método del lugar de las raíces está basado en técnicas de tanteo y error y es un procedimiento gráfico, por el cual se trazan las raíces de la ecuación exactamente para todos los valores de un parámetro del sistema que normalmente es la ganancia K variándola desde 0 a ∞.
El denominador de la función de transferencia de lazo cerrado, igualado a 0, recibe el nombre de "ecuación característica", y, como pronto veremos, es la referencia para determinar el lugar de las raíces.
Las raíces del numerador de la función de lazo abierto reciben el nombre de "ceros", Las raíces del denominador reciben el nombre de "polos".
Cancelación Polo-Cero
Cuando un sistema a lazo abierto posee polos en el semi-plano derecho (caso en que el sistema es inestable), lo que primero se nos ocurre para evitar este problema es agregar ceros en los mismos lugares donde están los polos inestables, para cancelarlos. Desgraciadamente, este método nunca es realizable. El problema es que cuando el cero agregado no cancela exactamente el polo (lo cual siempre sucede en la práctica), una parte del lugar de raíces quedará atrapada en el semi-plano derecho. Es importante señalar que si el dominador de G(s) y el numerador de H (s) contienen factores típicos, los polos y ceros en lazo abierto correspondiente se cancelaran unos con otros, reduciendo el grado de la ecuación característica en uno o más órdenes. Por ejemplo, considérese el sistema de la figura #?(a) Este sistema tiene una realimentación de velocidad.) Se modifica el diagrama de bloques de la figura (a) Para obtener el de la figura(b) se aprecia con claridad que G(s) y H(s) tienen un factor común s + 1
Sin embargo, debido a la cancelación de los términos (s + 1) que aparecen en G(s) y H(s), se entiende que:
Por lo tanto la ecuación característica reducida es:
La grafica del lugar de las raíces de G(s) H(s) no muestra todas las raíces de la ecuación característica solo las raíces de la ecuación reducida. Para obtener el conjunto complejo de los polos en lazo cerrado, se debe agregar el polo cancelado de G(s) H(s) a aquellos polos en lazo cerrado obtenido en la gráfica de lugar de las raíces de G (s) H(s) es un polo en lazo cerrado sistema como se muestra en la ecuación anterior #? (c).
Para un sistema complejo en lazo abierto con muchos polos y ceros, puede parecer complicado construir una gráfica del lugar geométrico de las raíces, aunque en realidad no es difícil si se aplican las reglas para construir dicho lugar geométrico. Ubicando los puntos y las asíntotas específicos y calculando los ángulos de salida de los polos complejos y los ángulos de llegada a los ceros complejos, podemos construir la forma general de los lugares geométricos de las raíces sin dificultad. Reglas generales para construir los lugares geométricos de las raíces. Ahora resumiremos las reglas y el procedimiento general para construir los lugares geométricos de las raíces del sistema de la figura.
Primero, obtenga la ecuación característica 1 + G(s) H(s) = 0
A continuación, vuelva a ordenar esta ecuación para que el parámetro de interés aparezca como el factor multiplicativo, en la forma:
En estos análisis, suponemos que el parámetro de interés es la ganancia K, en donde K > 0.
(Si K < 0, lo cual corresponde al caso de realimentación positiva, debe modificarse la condición de Angulo). Sin embargo, observe que el método todavía es aplicable a sistemas con parámetros de interés diferentes a la ganancia.
1. Ubique los polos y ceros de G(s) H(s) en el plano s.
Las ramificaciones del lugar geométrico de las raíces empiezan en los polos en lazo abierto y terminan en los ceros (ceros finitos o ceros en infinito). A partir de la forma factorizada de la función de transferencia en lazo abierto, ubique los polos y los ceros en lazo abierto en el plano s. [Observe que los ceros en lazo abierto son los de G(s)H(s), en tanto que los ceros en lazo cerrado son los de G(s) y los polos de H(s)].
2. Determine los lugares geométricos de las raíces sobre el eje real.
Los lugares geométricos de las raíces sobre el eje real se determinan mediante los polos y los ceros en lazo abierto que se encuentran sobre él. Los polos y los ceros complejos conjugados de la función de transferencia en lazo abierto no afectan la ubicación de los lugares geométricos de las raíces sobre el eje real, porque la contribución del ángulo de un par de polos o ceros complejos conjugados es 360” sobre el eje real. Cada parte del lugar geométrico de las raíces sobre el eje real se extiende sobre un rango de un polo o cero a otro polo o cero. Al construir los lugares geométricos sobre el eje real, seleccione un punto en éste. Si la cantidad total de polos y ceros reales a la derecha de este punto de prueba es impar, este punto se encuentra en el lugar geométrico de las raíces El lugar geométrico de las raíces y su forma complementaria alternan segmentos a lo largo del eje real.
3. Determine las asíntotas de los lugares geométricos de las raíces.
Si el punto de prueba s se ubica lejos del origen, se considera que no cambia el ángulo de cada cantidad compleja. Entonces, un cero en lazo abierto y un polo en lazo abierto cancelan los efectos del otro. Por tanto, los lugares geométricos de las raíces para valores de muy grandes deben ser asintóticos para líneas rectas cuyos ángulos (pendientes) se obtengan mediante.
Aquí k = 0 corresponde a las asíntotas con el ángulo más pequeño con respecto al eje real.
Aunque k supone una cantidad infinita de valores, conforme aumenta, el ángulo se repite a sí mismo y la cantidad de asíntotas distintas es n-m.
Todas las asíntotas intersecan el eje real en un punto que se obtiene del modo siguiente: si se expanden el numerador y el denominador de la función de transferencia en lazo abierto, el resultado es:
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