Resumiremos las reglas y el procedimiento general para construir los lugares geométricos de las raíces del sistema de la figura 5.2.1.1
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| Fig. 5.2.1.1 Sistema de Control |
Primero, obtenga la ecuación característica
A continuación, vuelva a ordenar esta ecuación para que el parámetro de interés aparezca como el factor multiplicativo, en forma
En estos análisis suponemos que el parámetro de interés es la ganancia K , en donde K >0. (Si K < 0, lo cual corresponde al caso de realimentación positiva, debe modificarse la condición de ángulo.) Sin embargo observe, que el método todavía es aplicable a sistemas con parámetros de interés diferentes a la ganancia.
1. Ubique los polos y ceros de G(s)H(s) en el plano s.
Las ramificaciones del lugar geométrico de las raíces empiezan en los polos en lazo abierto y terminan en los ceros (ceros finitos o ceros en infinito) . A partir de la forma factorizada de la función de transferencia en lazo abierto, ubique los polos y los ceros en lazo abierto en el plano s. Observe que los ceros en lazo abierto son los de G(s)H(s) , en tanto que los ceros en lazo cerrado son los de G(s) y los polos de H(s).
Observe que los lugares geométricos de las raíces son simétricos con respecto al eje real del plano s, debido a que los polos y ceros complejos sólo ocurren en pares conjugados.
Encuentre los puntos inicio y fin de los lugares geométricos de las raíces y localice también el número de lugares geométricos de las raíces separados. Los puntos del lugar geométrico que corresponde a K = 0 son los polos en lazo abierto. Esto se aprecia a partir de la condición de magnitud, suponiendo que K tiende a cero, o que:
Esta última ecuación implica que conforme K disminuye, el valor des debe tender a uno de los polos en lazo abierto. Por lo tanto, cada lugar geométrico de las raíces se origina en un polo de la función de transferencia en lazo abierto
G(s)H(s) . Conforme K tiende a infinito, cada lugar geométrico tiende al cero de la función de transferencia en lazo abierto o al infinito del plano complejo. Esto se aprecia del modo siguiente : si suponemos que K tiende a infinito en la condición de magnitud, entonces
Por tanto, el valor de s debe aproximarse a uno de los ceros finitos en lazo abierto o a un cero en lazo abierto en infinito. [Si se incluyen los ceros en infinito en la cuenta, G(s)H(s) tiene la misma cantidad de ceros que de polos.]
Una gráfica del lugar geométrico de las raíces tendrá tantas ramificaciones como raíces tenga la función característica. Dado que, por lo general, la cantidad de polos en lazo abierto es mayor que la de ceros, la cantidad de ramificaciones es igual a la de los polos. Si la cantidad de polos en lazo cerrado es igual a la cantidad de polos en lazo abierto, la cantidad de ramificaciones individuales del
lugar geométrico de las raíces que terminan en los ceros finitos en lazo abierto será igual a la cantidad m de ceros en lazo abierto. Las n - m ramificaciones restantes terminan en infinito ( n - m ceros implícitos en infinito ) a lo largo de las asíntotas.
Sí incluimos los polos y los ceros en infinito, la cantidad de polos en lazo abierto es igual a la de ceros en lazo abierto. Por tanto, siempre podemos plantear que los lugares geométricos de las raíces empiezan en los polos de G(s)H(s) y terminan en los ceros de G(s)H(s) conforme K aumenta de cero a infinito, en donde los polos y los ceros incluyen tanto aquéllos finitos y en infinitos en el plano s.
2.- Determine los lugares geométricos de las raíces sobre el eje real.
Los lugares geométricos de las raíces sobre el je real se determinan mediante los polos y los ceros en lazo abierto que se encuentran sobre él. Los polos y los ceros complejos conjugados de la función de transferencia en lazo abierto no afectan la ubicación de los lugares geométricos de las raíces sobre el eje real, porque la contribución del ángulo de un par de polos o ceros complejos conjugados es 360° sobre el eje real. Cada parte del lugar geométrico de las raíces sobre el eje real se extiende sobre un rango de un polo o cero a otro polo o cero. Al construir los lugares geométricos sobre el je real, seleccione un punto en éste. Si la cantidad total de polos y ceros reales a la derecha de este punto de prueba es impar, este punto se encuentra en el lugar geométrico de las raíces. El lugar geométrico de las raíces y su firma complementaria alternan segmentos a lo largo del eje real.
3.- Determine las asíntotas de los lugares geométricos de las raíces.
Si el punto de prueba s se ubica lejos del origen, se considera que no cambia el ángulo de cada cantidad compleja. Entonces, un cero en lazo abierto y un polo en lazo abierto cancelan los efectos del otro. Por tanto, los lugares geométricos de las raíces para valores de s muy grandes deben ser asintóticos para líneas rectas cuyos ángulos (pendientes) se obtengan mediante:
en donde n = número de polos finitos de G(s)H(s)
m = números de ceros finitos de G(s)H(s)
Aquí, k = 0 corresponde a las asíntotas con el ángulo más pequeño con respecto al eje real. Aunque k supone una cantidad infinita de valores, conforme aumenta, el ángulo se repite así mismo y la cantidad de asíntotas es n - m. Todas las asíntotas interceptan al eje real en un punto que se obtiene del modo siguiente: si se expanden el numerador y el denominador de la función de transferencia en lazo abierto, el resultado es:
Si un punto de prueba se localiza lejos del origen, entonces dividiendo el denominador entre el numerador, podemos escribir G(s)H(s) como:
Dado que la ecuación característica es:
puede escribirse como:
Para un valor grande de s la ecuación anterior se aproxima mediante:
Si la abscisa de la intersección de las asíntotas y el eje real se representa mediante s = s a , entonces:
o bien,
Debido a que todos los polos y ceros complejos ocurren en pares conjugados, sa siempre es una cantidad real. Una vez que se encuentra la intersección de las asíntotas y el eje real, es fácil dibujar las asíntotas en el plano complejo.
Es importante señalar que las asíntotas muestran el comportamiento de los lugares geométricos de las raíces para s >> 1. Una ramificación del lugar geométrico de las raíces pueden encontrarse en un lado de la asíntota correspondiente o puede atravesar ésta de un lado al otro.
4.- Encuentre los puntos de desprendimiento y de ingreso.
Debido a la simetría conjugada de los lugares geométrico de las raíces, los puntos de desprendimiento y de ingreso se encuentran sobre el eje real o bien ocurren en pares complejos conjugados.
Si un lugar geométrico de las raíces se ubica entre dos polos en lazo abierto adyacentes sobre el eje real, existe al menos un punto de desprendimiento entre dichos dos polos. Asimismo, si el lugar geométrico de las raíces esta entre dos ceros adyacentes (un cero puede ubicarse en -¥) sobre el eje real, siempre existe al menos un punto de ingreso entre los dos ceros. Si el lugar geométrico de las raíces se ubica entre un polo en lazo abierto y un cero (finito o no finito) sobre el eje real, puede o no existir puntos de desprendimiento o de ingreso, o bien pueden existir ambos.
Suponga que la ecuación característica se obtiene mediante:
Los puntos de desprendimiento y los puntos de ingreso corresponden a las raíces múltiples de la ecuación característica. Por tanto, los puntos de desprendimiento y de ingreso se determinan a partir de las raíces de:
en donde la prima indica una diferenciación con respecto a s. Es importante señalar que los puntos de desprendimiento y los punto de ingreso deben ser las raíces de la ecuación anterior, aunque no todas las raíces de la ecuación anterior se encuentran en la parte del eje real del lugar geométrico de las raíces, es un punto de desprendimiento o de ingreso real. Si una raíz real de la ecuación anterior no está en la parte del eje real del lugar geométrico, esta raíz no corresponde a un desprendimiento ni a un punto de ingreso. Si dos raíces s = s1 y s = -s1 de la ecuación anterior son un par complejo conjugado y si no es seguro que están en los lugares geométricos de las raíces, es necesario verificar el valor de K correspondiente. Si el valor de K que corresponde a la raíz s = s1 de dK/ds = 0 es positivo, el punto s = s1 es un punto de desprendimiento o de ingreso real.(Dado que se supone que K es no negativo, si es negativo el valor obtenido de K el punto s = s1 no es de desprendimiento ni de ingreso.)
5.- Determine el ángulo de salida (ángulo de llegada) de un ángulo geométrico de las raíces a partir de un polo complejo (un cero complejo).
Para trazar los lugares geométricos de las raíces con una precisión razonable, debemos encontrar las direcciones de los lugares geométricos de las raíces cercanas a los polos y ceros complejos. Si se selecciona un punto de prueba y se mueve en la cercanía precisa del polo complejo (o del cero complejo) , se considera que no cambia la suma de las contribuciones angulares de todos los otros polos y ceros. Por tanto, el ángulo de llegada (o ángulo de salida) del lugar geométrico de las raíces de un polo complejo (o de un cero complejo), se encuentra restando a 180° la suma de todos los ángulos de vectores, desde todos los polos y ceros hasta el polo complejo (o cero complejo) en cuestión, incluyendo los signos apropiados.
Angulo de salida desde un polo complejo = 180°
- (suma de los ángulos de vectores hacia el polo complejo en cuestión desde otros polos)
+ (suma de los ángulos de vectores hacia el polo complejo en cuestión desde los ceros)
Angulo de llegada a un cero complejo = 180°
- (suma de los ángulos de vectores hacia el cero complejo en cuestión desde otro cero)
+ (suma de los ángulos de vectores hacia el cero complejo en cuestión desde los polos)
El ángulo de salida aparece en la figura 5.2.1.2
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Fig. 5.2.1.2 Construcción del lugar geométrico de las raíces.
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6.- Encuentre los puntos en los que los lugares geométricos de las raíces cruzan el eje imaginario.
Los puntos en los que los lugares geométricos de las raíces interceptan al eje jw se encuentran con facilidad por medio de : (a) el criterio de estabilidad de Routh, o (b) suponiendo que s = jw en la ecuación característica, igualando con cero la parte real y la parte imaginaria y despejando w y K . En este caso, los valores encontrados de w representan las frecuencias en las cuales los lugares geométricos de las raíces cruzan el eje imaginario. El valor de K que corresponden a cada frecuencia de cruce produce la ganancia en el punto de cruce.
7.- Tomando una serie de puntos de prueba en la vecindad amplia del origen del plano s, trace los lugares geométricos.
Determine los legares geométricos de las raíces en la vecindad amplia del eje w y el origen. La parte más importante de los lugares geométricos de las raíces no está sobre el eje real ni en las asíntotas, sino en la parte de la vecindad amplia del eje jw y el origen. La forma de los lugares geométricos de las raíces en esta región importante del plano s debe obtenerse con suficiente precisión.
8.- Determine los polos en lazo cerrado.
Un punto específico de cada ramificación del lugar geométrico de la s raíces será un polo en lazo cerrado si el valor de K en dicho punto satisface la condición de magnitud. Por otra parte, la condición de magnitud nos permite determinar el valor de la ganancia en K en cualquier ubicación de las raíces específicas sobre el lugar geométrico. )si es necesario, se establece una graduación de los lugares geométricos en términos de K. Los lugares geométricos de las raíces son continuos con K).El valor de K que corresponde a cualquier punto s sobre el lugar geométrico de las raíces se obtienen a partir de la condición de magnitud, o bien
Este valor debe calcularse en forma gráfica o analítica.
Si este problema de la ganancia K de la función de transferencia en lazo abierto, entonces, aplicando la condición de magnitud encontramos las ubicaciones correctas de los polos en lazo cerrado para un K determinado de cada ramificación de los lugares geométrico de las raíces, mediante un enfoque de prueba y error o mediante MATLAB, lo cual se presentara en la sección 5.2.1.1
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Tabla 5.2.1.1 Configuraciones de polos y ceros en lazo abierto y los correspondientes lugares geométricos de las raíces.
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