5.1 Criterio de Routh–Hurwitz

Criterio de Routh–Hurwitz.

Este criterio es usado en sistemas de tiempo continuo para determinar si el denominador de la función de transferencia tiene raíces en el semiplano derecho del plano s. Si este criterio es aplicado a la ecuación característica de un sistema de tiempo discreto expresado en la variable z, no puede obtenerse ninguna información sobre la estabilidad del mismo. Sin embargo, si la ecuación característica es expresada como una función de la variable de transformación bilineal w, entonces la estabilidad del sistema puede ser determinada por aplicación directa del criterio de Routh–Hurwitz, de la misma manera que se aplica a los sistemas de tiempo continuo. Esto es posible, pues a través de la transformación w el interior del círculo unitario del plano z se transforma en el semiplano izquierdo del plano w, y el exterior del círculo unitario en el semiplano derecho w

En el análisis de estabilidad, utilizando la transformación bilineal junto con el criterio de estabilidad de Routh, primero se pondrá 

en lugar de z en la ecuación característica:

                                        Como sigue:

Entonces, si se simplifica las fracciones multiplicando ambos miembros de esta última ecuación porse obtiene:

Una vez que se transforma  en es posible aplicar el criterio de estabilidad de Routh de la misma forma que en los sistemas en tiempo continuo.

ejemplo :

Para analizar la aplicación del criterio de estabilidad de Routh–Hurwitz se utilizará el siguiente ejemplo:

El sistema de control de tiempo continuo, es estable para todo valor positivo de la ganancia K. En efecto, si se aplica el criterio de Routh–Hurwitz a su ecuación característica:

resultado :

El número de cambios de signo de la primera fila del arreglo de Routh–Hurwitz indica el número de raíces del polinomio característico P(s) ubicadas en el semiplano derecho. En este caso no existen cambios de signo de modo que el sistema de tiempo continuo realimentado en forma unitaria es estable para todo valor positivo de la ganancia K

La función de transferencia entrada–salida para el sistema equivalente de tiempo discreto, para un período de muestreo T = 0.1 s está dada por:

Para aplicar el criterio de Routh–Hurwitz es necesario aplicar previamente la transformación bilineal:

Luego, la ecuación característica en el plano w está dada por:

La aplicación del criterio de Routh–Hurwitz conduce al siguiente arreglo:

Para que el sistema sea estable no debe haber cambios de signos en la primera columna del arreglo, siendo necesario que la ganancia K se halle comprendida en el rango:

Si se elige, en cambio, un período de muestreo mayor, por ejemplo T = 1 s, se obtiene: